Question

一个圆环直径为，通过铁丝BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示．
（Ⅰ）设BC长为x（m），铁丝总长为y（m），试写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（Ⅱ）当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值．

Answer

（Ⅰ）由题意C，A1，A2，A3四点构成一个正三棱锥，CA1，CA2，CA3为该三棱锥的三条侧棱，再利用直角三角形中的边的关系即可求得铁丝总长；
（Ⅱ）欲求铁丝总长y的最小值，先对y求导，利用导数的知识研究函数的单调性，进而求得其最小值即可解决问题．
【解析】
（Ⅰ）由题意C，A1，A2，A3四点构成一个正三棱锥，CA1，CA2，CA3为该三棱锥的三条侧棱．（2分）
三棱锥的侧棱；（4分）
于是有．（0＜x＜2）（5分）
（Ⅱ）对y求导得．（8分）
令y'=0得9（2-x）2=（2-x）2+2，
解得或x=（舍）．（10分）
当时，y'＜0，
当时，y'＞0．（12分）
故当时，即BC=1.5m时，y取得最小值为6m．（13分）