Question

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．

Answer

（Ⅰ）由题意知每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，本试验是一个独立重复试验，恰好射击5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定击中，根据独立重复试验公式得到结果．
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，写出分布列．
【解析】
（Ⅰ）∵每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，
∴是一个独立重复试验，
记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定击中，
∴．
（Ⅱ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
当ξ=2时，表示两枪都击中，
当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，
当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，
当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况
∴；
；
；
．
∴ξ的分布列为
．
∴所求ξ的数学期望为．