Question

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

Answer

（1）第一小题较为简单，因为抛物线是标准方程，只须求参数P；
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点；
（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题．
【解析】
（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1=0，=1
所以抛物线C的方程为x2=4y．

（2）设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线定义知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，
所以|AC|=y1，|BD|=y2，
由得x2-4kx-4=0，
显然△＞0，则x1+x2=4k，x1•x2=-4，
所以y1•y2==1，所以|AC|•|BD|为定值1．

（3）【解析】
由x2=4y，y=x2，y=x，
得直线AM方程y-=x1（x-x1）（1），
直线BM方程y-=x2（x-x2）（2），
由（2）-（1）得（x1-x2）x=-，
所以x=（x1+x2）=2k，∴y=-1
所以点M坐标为（2k，-1），
点M到直线AB距离d==2，
弦AB长为|AB|===4（1+k2），
△ACM与△BDM面积之和，
S=（|AB|-2）•d=×（2+4k2）×2=2（1+2k2），
当k=0时，即AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．