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满分5
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高中数学试题
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已知函数(a>0且a为常数). (Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调区间; (...
已知函数
(a>0且a为常数).
(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式
对x∈[-
,+∞)恒成立,求a的取值范围.
(I)由题意把a代入解析式使解析式具体,在对函数f(x)利用导数法则求其导函数,令导函数大于0,求出函数的增区间,令导函数小于0求出函数的减区间; (II)由题意,此问题属于函数的恒成立问题,转化为函数在定义域内求最值,在令最小值还大于等于0即可. 【解析】 对函数f(x)求导得:f′(x)=eax(ax+2)(x-1) (Ⅰ)当a=2时,f′(x)=e2x(2x+2)(x-1) 令f′(x)>0解得x>1或x<-1; 令f′(x)<0解得-1<x<1; 所以,f(x)单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞); f(x)单调减区间为(-1,1) (Ⅱ)令f′(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0, 解得或x=1 由a>0时,得:当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,函数f(x)此区间单调递增; 当时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在此区间单调递增, ∵f(-)>0,f(1)<0,所以,函数在x=1时取得最小值 所以,当x∈R时,, 由题意,不等式对x∈R恒成立, 所以得,解得0<a≤ln3.
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考点分析:
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