Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0．由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x1）-（y-p）（y-y1）=0，
将直线方程y=a代入得x2-x1x+（a-p）（a-y1）=0，则．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．
【解析】
法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），
可设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得，
消去y得x2-2pkx-2p2=0．
由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2．
于是
=
=，
∴当k=0时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，
AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（）．
∵，，
∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2==，
∴|PQ|2=（2|PH|）2=．
令，得，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=，
又由点到直线的距离公式得．
从而，∴当k=0时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x1）+（y-p）（y-y1）=0，
将直线方程y=a代入得x2-x1x+（a-p）（a-y1）=0，
则|x1-x2|2=．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），
则有．
令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．