Question

设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，数列{b_n}是公比为q等比数列，且b₁=a₁＞0．
（1）若a₃=b₃，a₇=b₅，探究使得a_n=b_m成立时n与m的关系；
（2）若a₂=b₂，求证：当n＞2时，a_n＜b_n．

Answer

（1）记a1=b1=a，由已知条件得，解得a=2d，q=，由此可以推出an=bm．
（2）由题意知，所以，an-bn=a+（n-1）d-aqn-1，由此能够推导出当n＞2时，an＜bn．
【解析】
（1）设a1=b1=a，（由已知得，a=2d，q=，由题设条件知，an=bm．
则a+（n-1）d=aqm-1，即，所以．
（2）因为d＞0，a＞0，所以，（11分）
n＞2时，an-bn=a+（n-1）d-aqn-1=a（1-qn-1）-（n-1）d
=a（1-q）（1+q+q2++qn-2）+（n-1）d＜a（1-q）（n-1）+（n-1）d
=（（n-1）[a（1-q）+d]=（n-1）（a2-b2）=0
所以，当n＞2时，an＜bn．