Question

如图，已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点．
（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．
①求轨迹E的方程；
②过轨迹E上一定点P（x，y）作相互垂直的两条直线l₁，l₂，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l₁被圆O截得的弦长为a，设l₂被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

Answer

（1）①由题意知OA2+OB2=AB2，，，在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5．由此可知轨迹E的方程；②设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，因为l1⊥l2，所以d12+d22=OP2=x2+y2=5，由此可知≤4=4[12-2（d12+d22）]=4（12-10）=8，即a+b的最大值．
（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则，．当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，，由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，，．由此可知，线段OC长度的最小值为，最大值为．
【解析】
（1）①如图连接OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以OA2+OB2=AB2，
所以，所以，在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5，（2分）
所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，
所以轨迹E的方程为x2+y2=5；（3分）
②设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，
因为l1⊥l2，所以d12+d22=OP2=x2+y2=5，（5分）
则，
则
≤4=4[12-2（d12+d22）]=4（12-10）=8，（8分）
当且仅当，即时取“=”，
所以a+b的最大值为；（9分）
（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则，．
当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，，
即==，
由，此时；（12分）
当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，，
即==，
由，此时，（15分）
综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．（16分）