Question

已知数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：a₁C₂-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
（3）设q≠1，S_n是等比数列{a_n}的前n项和，求：S₁C_n-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ

Answer

（1）利用组合数公式和等比数列的通项公式进行化简，再利用平方差和立方差公式合并．
（2）利用归纳推理和（1）的结果进行推理出结论，利用二项式定理从左边到右边证明．
（3）由题意知数列{an}是等比数列，而且q≠1，求出sn代入所给的式子，进行整理和分组，再利用二项式定理求解．
【解析】
（1）a1C2-a2C21+a3C22=a1-2a1q+a1q2
=a1（1-q）2
a1C3-a2C31+a3C32-a4C33
=a1（1-q）2a1C3-a2C31+a3C32-a4C33
=a1-3a1q+3a1q2-a1q3
=a1（1-q）3；
（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
则a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3++（-1）nan+1Cnn=a1（1-q）n，n为正整数
证明：a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+（-1）nan+1Cnn
=a1Cn-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+…+（-1）na1qnCnn
=a1[Cn-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+…+（-1）nqnCnn]
=a1（1-q）n；
∴左边=右边，该结论成立．
（3）∵数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，而且q≠1．
∴=，
∴S1Cn-S2Cn1+S3Cn2-S4Cn3+…+（-1）nSn+1Cnn
=[（1-q）cn-（1-q2）cn1+（1-q3）cn2-（1-q4）cn3+…+（-1）n（1-qn+1）cnn]
=
=．