(1)当n≥2时,根据an=Sn-Sn-1,进而得出an和an-1的关系整理得,因m为常数,进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列.,当n=1时等式也成立,原式得证.
(2)根据(1)可得f(m)的解析式.再根据bn=f(bn-1)整理可得进而推知数列{bn}为等差数列,首项为2a1,公差为1,再根据等差数列的通项公式可得答案.
(3)把(2)中的bn代入,再通过错位相减法求得Tn
【解析】
(1)证明:当n=1时,a1=S1=(m+1)-ma1,解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=man-1-man.
即(1+m)an=man-1.
∵m为常数,且m>0,∴(n≥2).
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)【解析】
由(1)得,q=f(m)=,b1=2a1=2.
∵,
∴,即(n≥2).
∴是首项为,公差为1的等差数列.
∴,即(n∈N*).
(3)【解析】
由(2)知,则.
所以,
即Tn=21×1+22×3+23×5++2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1),①
则2Tn=22×1+23×3+24×5++2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1),②
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24--2n+1,
故.