Question

在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin²A+cos²B=1，
④cos²A+cos²B=sin²C，
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

Answer

先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；
③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．
【解析】
∵tan=sinC
∴=2sincos
整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，
＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤，
所以②正确
cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，
sin2C=sin290°=1，
所以cos2A+cos2B=sin2C．
所以④正确．
sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．
综上知②④正确
故选B．