Question

设函数h（x）=x|x|+mx+n给出下列四个命题：
①当m=0时，h（x）=0只有一个实数根；
②当n=0时，y=h（x）为偶函数；
③函数y=h（x）图象关于点（0，n）对称；
④当m≠0，n≠0时，方程h（x）=0有两个不等实根．
上述命题中，所有正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

①可根据h（x）在R上单调性和值域确定h（x）=0只有一个实数根正确；
②当n=0时，h（x）=x|x|+mx，再由函数奇偶性的定义可判断为奇函数；
③分别表示出h（x）与h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n，即可得到函数y=h（x）图象关于点（0，n）对称，从而看判断正误；
④令m＞0，n＞0，然后画出函数h（x）的图象可判断方程h（x）=0有两个不等实根不正确．
【解析】
当m=0时，h（x）=函数h（x）在R上单调递增，且值域为R，
故h（x）=0只有一个实数根正确，即①正确；
当n=0时，函数h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数，②不正确；
∵h（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函数y=h（x）图象关于点（0，n）对称，故③正确；
当m＞0，n＞0时，h（x）=2+mx+n，x≥0-x2+mx+n，x＜0，图象如图
h（x）=0只有1个实根，④不正确．
故选C．