Question

设椭圆（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且求椭圆C的方程．

Answer

（1）根据题意可得，4c=b+d+|MF|=b+c+，化简可得3c2=bc+a3=bc+b2+c2；进而可得b=c，则a=c，计算可得答案．
（2）由（1）中a、b的关系，设椭圆方程为x2+2y2=2b2，联立两者的方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2b2=0；令其△＞0得，
b2＞，由根与系数的关系，可以表示出，结合题意，以N为圆心，b为半径的圆与l相切，可得又=b，化简可得b2（k2+1）=4k2，代入中，解可得k的值，进而可得a、b的值；进而可得答案．
【解析】
（1）根据题意，椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项，
则4c=b+d+|MF|=b+c+（＞a＞1），即3c2=bc+a3=bc+b2+c2；
化简可得，b=c，则a=c，
则e=；
（2）设椭圆方程为x2+2y2=2b2，
联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2b2=0；
由△＞0得，b2＞，
且x1+x2=-，x1•x2=，
==- ①；
又=b得b2（k2+1）=4k2，
代入①解得：k2=1；
即b2=2，a2=4；
椭圆的方程为+=1．