Question

已知数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：a₁C₂-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．

Answer

（1）利用等比数列的通项公式求出数列的前4项，据组合数公式求出各个组合数，代入两个代数式求出值．
（2）归纳猜测出一般结论，利用等比数列的通项公式将各项用首项和公比表示，提出公因式公比，逆用二项式定理的展开式，
化简代数式得证．
【解析】
（1）a1C2-a2C21+a3C22
=a1-2a1q+a1q2
=a1（1-q）2
a1C3-a2C31+a3C32-a4C33
=a1-3a1q+3a1q2-a1q3
=a1（1-q）3；

（2）归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，
公比为q的等比数列，
则a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+（-1）nan+1Cnn=a1（1-q）n，
n为正整数．
证明：a1Cn-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+（-1）nan+1Cnn
=a1Cn-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+…+（-1）na1qnCnn
=a1[Cn-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+…+（-1）nqnCnn]
=a1（1-q）n．