Question

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程．

Answer

（I）令f′（x）=0求出x的解，然后根据驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，得到A、B的坐标；
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），由，得，又因为PQ的中点在y=2（x-4）上，得消去m、n即可得到动点Q的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，
当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），，所以，又PQ的中点在y=2（x-4）上，
所以
消去m，n得（x-8）2+（y+2）2=9