Question

已知函数，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然对数的底）．
（1）当b＜a＜1，f（1）=0，且函数y=2f（x）+1的零点，证明：；
（2）当b=1时，若不等式f（x）≤g（x）在恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）由f（1）=0，结合b＜a＜1，我们可以构造关于b的不等式①，再由函数y=2f（x）+1的零点，即x2+2ax+2b+1=0有实根，根据△≥0，我们可以构造关于b的不等式②，解不等式组即可得到b的范围．
（2）由不等式f（x）≤g（x）在恒成立，我们可以得到在恒成立，即在上，a值小于等于函数的最小值，利用导数法求出函数的最值后，即可得到a的取值范围．
【解析】
（I）由f（1）=0，得a=-
又b＜a＜1，
∴b＜-＜1，
解得-＜b＜-①
且函数y=2f（x）+1的零点，即x2+2ax+2b+1=0有实根
∴△=4a2-4（2b+1）≥0
将a=-代入化简得：4b2-4b-3≥0
解得b≤-或b≥②
由①②得-＜b≤-．

（II）当b=1时，，由式f（x）≤g（x），
得在恒成立，
即在恒成立，
令，则
令，则h'（x）=x（ex-1）
∵
∴h′（x）＞0
即h（x）在上单调递增
∴h（x）≥h（）=-＞0
∴g'（x）＞0
∴g（x）在单调递增
则g（x）≥g（）==2-
故a≤2-