Question

如图所示，直线AD、CD、BC两两垂直，且AD与BC不在同一平面内．已知BC=3，CD=4，AB=13，点M、N分别为线段AB、AC的中点．
（1）证明：直线BC∥平面MND；
（2）证明：平面MND⊥平面ACD；
（3）求三棱锥A-MND的体积．

Answer

（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDM中三条已知直线与PC都不平行，故我们要考虑在平面BDM中做一条与PC可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）要求三棱锥的体积，只要求出底面的面积，及对应的高代入棱锥体积公式，即可求解．
证明：（Ⅰ）∵M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN∥BC
又∵MN⊂平面MND，BC⊄平面MND，
∴BC∥平面MND，

（Ⅱ）∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥面ACD，
又∵MN∥BC
∴MN⊥平面ACD，
又∵MN⊂平面MND，
平面MND⊥平面ACD

（Ⅲ）VA-MND=VM-AND
∵MN⊥平面ACD（已证），
∴MN是三棱锥M-AND的高，
在Rt△BCD中，
BD===5，
在Rt△ADB中，
AD===12
∵N是AC的中点，AD⊥CD，
∴S△AND=S△ACD═CD•AD=×4×12=12
∴VA-MND=VM-AND=S△AND•MN=×12×=6．