Question

已知函数，（（a∈R））．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（Ⅱ）若常数a＜1，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）已知a=0，求证：对任意的m、n，当m＜n≤1时，总存在实数t∈（m，n），使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．

Answer

（Ⅰ）已知函数，求出其导数f′（x），因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，所以f（x）在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，从而求出a的值；
（Ⅱ）由题意常数a＜1，令f′（x）=0，得f（x）的极值点，然后求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）假设存在，取t=，然后代入函数f（x）进行计算，看是否存在．
【解析】
f（x）′=x2-2（a+1）x+4a，
（Ⅰ）因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，（0，1）上单调递减，
∴f′（0）=4a=0，∴a=0，
又当a=0时，f′（x）=x2-2x，∴当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
综上，a=0时，y=f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数．
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x1=2a，x2=2．
因为a＜1
∴x1＜x2
当x变化时，f（x），f′（x）的值的变化情况如下：
当x＜2a时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当2a＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
注意到x∈[0，2]，
∴当a≤0时，f（x）在区间[0，2]上单调递减，f（x）的最大值为f（0）=0，
当0＜a＜1时，f（x）在区间[0，2a]上单调递增，在区间[2a，2]上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（2a）=4a2-．
（Ⅲ）取t=，
∵f（m）+f（n）-2f（）=m3-m2+n3-n2-（m+n）3+（m+n）2=
[m3+n3-m2n-mn2-2（m-n）3]=（m-n）2（m+n-2），
∵m＜n≤1，得（m-n）2＞0，m+n-2＜0，
∴f（m）+f（n）-2f（）＜0，
∴存在t=∈（m，n）（n≤1），
使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．