Question

自选题：已知曲线C₁：（θ为参数），曲线C₂：（t为参数）．
（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；
（Ⅱ）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′，C₂′．写出C₁′，C₂′的参数方程．C₁′与C₂′公共点的个数和C与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer

（I）先利用公式sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数t得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到C1与C2公共点的个数；
（II）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可．
【解析】
（Ⅰ）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2+y2=1，
圆心C1（0，0），半径r=1．C2的普通方程为．
因为圆心C1到直线的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C1′：（θ为参数）；
C2′：（t为参数）．
化为普通方程为：C1′：x2+4y2=1，C2′：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．