Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．

Answer

（1）据偶函数的定义f（-x）=f（x）求出b值，将点（2，5）代入得c值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，
有g′（x）=0有实数解，由△≥0得范围．
（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x）即有
（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a从而g′（x）=3x2+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0解得
a∈（-∞，-]∪[，+∞）所以实数a的取值范围：a∈（-∞，-]∪[，+∞）；
（2）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=-1，x2=
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当时，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-）上为减函数
当x∈（-）时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数．