Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）若∠A₁DC₁=90°，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（I）根据已知中AB=BC，D为AC的中点，我们根据等腰三角形三线合一，得到BD⊥AC，结合侧面A1ACC1⊥底面ABC，结合面面垂直的性质定理，我们易得到BD⊥侧面A1ACC1，利用线面垂直的定义，即可得到答案．
（II）若∠A1DC1=90°，结合（1）的结论，利用余弦定理我们可求出侧棱长，结合侧棱AA1与底面ABC成60°角，AB=BC=2，∠ABC=120°，我们计算出棱柱的底面积和高后，即可得到三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
【解析】
（I）证明：∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC
又∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，C底面ABC，
∴BD⊥侧面A1ACC1，
又∵AA1⊂侧面A1ACC1，
∴BD⊥AA1；
（II）∵∠AA1D为AA1与底面ABC所成的角
∴∠AA1D=60°
设侧棱长为a，由于AC=2
则A1D2=a2+AD2-2a•ADcos60°=
同理则C1D2=
又由∠A1DC1=90°，
则A1D2+C1D2=A1C12，即
∴
过A1作A1O⊥AC，垂足为O，
∵面A1ACC1⊥底面ABC，
∴A1O⊥面ABC
易知A1O=A1A•sin60°==
∴=S△aBC•A1O==