Question

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈[0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线l．
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴的交点是（x₂，0），证明．

Answer

（1）欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
（2）先在直线的方程中令y=0得到的x2值，欲证明．利用作差比较法即可．即利用因式分解的方法证x2-≥0即可．
【解析】
（1）【解析】
f'（x）=3x2（x＞0）．∵切线l经过曲线f（x）=x3-a上的点M（x1，f（x1）），
又∵切线l的斜率为k=f'（x1）=3x12．
据点斜式，得y-f（x1）=f'（x1）（x-x1），
整理，得y=3x12•x-2x12-a，x1＞0．
因此直线l的方程为y=3x12x-2x13-a（x1＞0）；
（2）证明：∵l与x轴交点为（x2，0），∴3x12x2-2x12-a=0，∵x1＞0，a＞0，
∴．
由于，
且x1＞0，a＞0，∴．
又，∴，
当且仅当，上式取“=”号．