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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上...

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=a2x-4上方,求a的取值范围.
(Ⅰ)由题意得:f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以当x=0时,f(x)有极大值,即f′(x)=0,即b=0. (Ⅱ)因为f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以,即a.因为曲线y=f(x)在直线y=a2x-4的上方,设g(x)=(x3+ax2+4)-(a2x-4), 所以在x∈[0,+∝)时,g(x)≥0恒成立.用导数求函数g(x)的最小值为g(-a),保证其大于0即可. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)=x3+ax2+bx+4, ∴f′(x)=3x2+2ax+b. ∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数, ∴当x=0时,f(x)有极大值,即f′(x)=0, ∴b=0. (Ⅱ)f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a), ∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数, ∴,即a. ∵曲线y=f(x)在直线y=a2x-4的上方, 设g(x)=(x3+ax2+4)-(a2x-4), ∴在x∈[0,+∝)时,g(x)≥0恒成立. ∵g′(x)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a), 令g′(x)=0,两个根为-a,,且, x (0,-a) -a (-a,+∞) g′(x) - + g(x) 单调递减 极小值 单调递增 ∴当x=-a时,g(x)有最小值g(-a). 令g(-a)=(-a3+a3+4)-(-a3-4)>0, ∴a3>-8,由, ∴-2<a.
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考点分析:
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i12345678910
ai61596057606360625761
算法流程图见图所示,则输出的S的值是   
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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