Question

如图，已知长方体AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F
（1）求证：AC₁⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer

法一：（1）连接AC，则AC⊥DB，由AC是A1C在平面ABCD内的射影，知A1C⊥BD．因为A1B1⊥平面B1C1BC，所以A1C⊥BE．由此能够证明A1C⊥平面EBD．
（2）由AB平行于平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，由BF⊥平面A1B1C，知BF为所求距离，由此能求出结果．
（3）连接DF，A1D，由EF⊥B1C，EF⊥A1C，知EF⊥平面A1B1C，所以∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角．由条件AB=BC=1，BB1=2，能求出直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．
法二：（1）分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），由向量法能证明A1C⊥平面EBD．
（2）设平面A1B1C的一个法向量为m=（x，y，z）则，所以m=（0，2，1），由此能求出点A到平面A1B1C的距离．
（3）由m=（0，2，1），，与m所成角为θ，由，能求出直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值．
 解法一：
（1）证明：连接AC，则AC⊥DB，
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面B1C1BC，
且A1C在平面B1C1BC内的射影B1C⊥BE
且BD∩BE=B，
∴A1C⊥BE∴A1C⊥平面EBD…（4分）
（2）【解析】
∵AB平行于平面A1B1C，
所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离
因为BF⊥平面A1B1C
所以BF为所求距离，…（9分）
（3）【解析】
连接DF，A1D，
∵EF⊥B1C，EF⊥A1C，
∴EF⊥平面A1B1C，
∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1，BB1=2
可知
∴
∴…..（14分）
解法二：如图建立空间直角坐标系．
（1）证明：B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0）
∴
∵，
∴，
∵BE∩DE=E
所以A1C⊥平面EBD．…（4分）
（2）【解析】
设平面A1B1C的一个法向量为m=（x，y，z）
则，
∴，
令z=1，得m=（0，2，1），
∵，
所以，所求的距离为…（9分）

（3）【解析】
由（2）知，m=（0，2，1），
∵，
∴与m所成角为θ，
则
所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为…．（14分）