Question

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，
EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当二面角D-EF-C的大小为45°时，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer

如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系 C-xyz，设出AB，BE，CF，求出C，A，B，E，F，D的坐标，（1）求出中的有关向量，即可求出所求角的大小．
（2）求出平面AEC的法向量，通过，即可求解二面角A-EC-B的正切值．
【解析】
如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系    C-xyz．…（1分）
F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1），
由，∴b-c=-1．…（4分）
所以．
所以，…（5分）
所以异面直线AD与EF成30°   …（6分）
（2）当二面角D-EF-C的大小为45，即∠DEC=45°．
设，
求得．…（8分）
又因为BA⊥平面BEFC，，
所以…（10分）
═=，
=．
∴二面角A-EC-B的正切值为，．…（12分）