Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：C'D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C'的余弦值．
本题重点考查的是翻折问题．在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚．

Answer

（Ⅰ）根据题意可得翻折成△BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即BC'2=C'D2+BD2，所以C'D⊥BD，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直．
（II）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
（III）根据建立的坐标系分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即BC'2=C'D2+BD2，
故C'D⊥BD．                                                        …（2分）
∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，C'D⊂平面BC'D，
∴C'D⊥平面ABD．                                                   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C'D⊥平面ABD，且CD⊥BD，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz．                       …（6分）
则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
∵E是线段AD的中点，
∴E（4，3，0），．
在平面BEC'中，，，
设平面BEC'法向量为，
∴，即，
令x=3，得y=4，z=4，故．                                …（8分）
设直线BD与平面BEC'所成角为θ，则．                               …（9分）
∴直线BD与平面BEC'所成角的正弦值为．                      …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC'的法向量为，
而平面DBE的法向量为，
∴，
因为二面角D-BE-C'为锐角，
所以二面角D-BE-C'的余弦值为．                              …（13分）