Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=k（x-1），函数f（x）-g（x）其中一个零点为5，数列{a_n}满足，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求数列{a_n}通项公式：
（2）试证明；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题意先求出k的值，进而求出a1的值，然后根据（an+1-an）g（an）+f（an）=0可以求出an-1为等比数列，便可求出数列{an}通项公式；
（2）由（1）求得的数列{an}通项公式求出的表达式，再根据不等式的性质即可证明；
（3）根据题意先求出bn的通项公式，然后令，讨论bn的单调性，分别讨论n=1，2，3，4时u的值，即可求出bn的最大项和最小项的值．
【解析】
（1）函数f（x）-g（x）有一个零点为5，即方程（x-1）2-k（x-1）=0，有一个根为5，
将x=5代入方程得16-4k=0，
∴k=4，∴a1=2（1分）
由（an+1-an）g（an）+f（an）=0得
4（an+1-a1）（an-1）+（an-1）2=0，
（an-1）（4an+1-4an+an-1）=0，
∴an-1=0或4an+1-4an+an-1=0，（3分）
由（1）知a1=2，∴an-1=0（舍去）．
由4an+1-4an+an-1=0得4an+1=3an+（14分）
由4an+1=3an+1得an+1-1=（5分）
∴数列{an-1}是首项为a1-1=1，公比为的等比数列
∴an-1=，
∴数列{an}通项公式为an=．（6分）
（2）由（1）知∴=+n=4[1-（8分）
∵对∀n∈N*，有，
∴∴+n≥1+n，
即（10分）
（3）由bn=3f（an）-g（an+1）得bn=3（an-1）2-4（an+1-1）
∴=（11分）
令，则0＜u≤1，
bn=3（u2-u）=
∵函数在上为增函数，在上为减函数（12分）
当n=1时u=1，
当n=2时，
当n=3时，=，
当n=4时，
∵，且
∴当n=3时，bn有最小值，即数列{bn} 有最小项，最小项为（13分）
当n=1即u=1时，bn有最大值，即有最大项，最大项为b1=3（1-1）=0．（14分）