Question

如图，海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点，BC＜l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积；
（3）若（2）中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值．

Answer

（1）先设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0，由余弦定理得出关于x，y的等式，再结合基本不等式求出xy的最大值，从而得出养殖场面积最大值；
（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）．由DB+DC=l=2a为定值知点D在以B、C为焦点的椭圆上，欲使四边形养殖场DBAC的最大面积，只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点即可．
（3）先确定点B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大．确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由（1）知AB=AC时，四边形ACDB面积最大．
【解析】
（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0.，，，
所以，△ABC面积的最大值为，当且仅当x=y时取到．
（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）． BC=2c（定值），
由DB+DC=l=2a，a=l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，为定值．
只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．面积的最大值为，
因此，四边形ACDB面积的最大值为．
（3）先确定点B、C，使BC＜l．由（2）知△DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大．
确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，
由（1）知AB=AC时，四边形ACDB面积最大．
此时，△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=．
S=．
由（1）的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为．
所以，四边形ACDB面积最大值为．