Question

各项为正数的数列{a_n} 的前n项和为S_n，且满足：S_n=²++（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设函数f（n）=，c_n=f（2ⁿ+4（n∈N^*），求数列{c_n} 的前n项和T_n；
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，求实数λ的最大值．

Answer

（1）由已知可得Sn=2++（n∈N*）从而导出，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，而an为正数，所以an-an-1=2（n≥2），由此推出an的通项公式．
（2）先求出{cn}的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可，注意讨论n；
（3）根据不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，将参数λ分离出来，研究不等式另一侧的最值，又m+n=3k且m≠n，利用基本不等式即可求出最值，从而求出实数λ的最大值．
【解析】
（1）由Sn=2++（n∈N*）…①
得n≥2时，Sn-1=2++（n∈N*）…②
①-②化简可得，（an+an-1）（an-an-1-2）=0
又an＞0，所以当n≥2时，an-an-1=2
∴数列{an} 成等差数列，公差为2
又则a1=1
∴an=2n-1
（2）由f（n）=，
可得c1=f（6）=f（3）=a3=5
c2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1
当n≥3时
cn=f（2n+4）=f（2n-1+2）=f（2n-2+1）=2（2n-1+1）-1=2n-1+1
故当n≥3时
Tn=2n+n
∴
  （3）Sm+Sn＞λSk⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞λ•k2，恒成立．
又m+n=3k且m≠n，，
故，即λ的最大值为 ．