Question

下面有关四面体的命题：
①每一个四面体都有唯一的外接球；
②每一个四面体都有唯一的内切球；
③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球；
④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；
⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

对于①②，四面体一定有外接球和内切球，进行判断即可；对于③通过举反例得出“每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球”不成立；对于④分离的方法是分离出两个以棱柱的两底为底的三棱锥剩下的部分也是一个三棱锥，其底面是一个侧面．对于⑤，可利用反证法进行证明．
【解析】
四面体一定有外接球和内切球，故①②都是真命题；
对于③，如图，若四面体中DA，DB，DC两两垂直，有一个球先与此三棱相切，再将此球的半径慢慢变大，直到与棱AB也相切，此时，该球不能与另两条侧棱AC，BC相切．故③不正确；
对于④：
如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B'C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′，且它的体积相等．故④正确；
对于⑤，利用反证法证明．
假设任意顶点的3条棱都不构成三角形，
设四面体ABCD最长边为AB=a，
设其邻边BC=b，BD=c，AD=d，AC=e
则由假设与AB的最长性质可知：a≥d+e（过顶点A），a≥b+c（过顶点B）
于是2a≥b+c+d+e，而由AB，BC，AC构成三角形知a＜b+e，
AB，BD，AD构成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e 矛盾！所以命题成立！故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．