Question

如图，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F为AC的中点．
（I）求点A到平面BCE的距离；
（II）证明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．

Answer

（I）由AB=BC=BD=2，∠CBD=60°，DE=1，知CD=2，CE=BE=，设点A到平面BCE的距离为h，由VA-BCE=VC-ABE，得，由此能求出点A到平面BCE的距离．
（II）由AB=BC，F为AC中点，知BF⊥AC，取BC中点G，连EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=，故四边形FGDE为平行四边形，EF∥DG，由G为BC中点，BD=CD，知DG⊥BC，由此能够证明平面ABC⊥平面ACE．
（III）延长AE于BD交于点H，连CH，则CH是平面ACE与面BCD的交线，在△BCH中，由BC=2，BH=4，∠BCD=60°，知BC⊥CH，由AB⊥平面BCD，知AC⊥CH，故∠ACB即为所求的二面角的平面角，由此能求出平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．
【解析】
（I）∵AB=BC=BD=2，
∠CBD=60°，DE=1，
∴CD=2，CE=BE=，
∴，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴ABDE是平面图形，
∵AB⊥平面BCD，
∴BD⊥AB，
∵AB=BD=2，
∴=2，
作CM⊥BD，交BD于M，
∵BC=BD=CD=2，
∴CM=，
∵AB⊥平面BCD，
∴CM⊥AB，
∴CM⊥面ABDE，即CM是棱锥C-ABE的高，
设点A到平面BCE的距离为h，
由VA-BCE=VC-ABE，得，
∴．
即点A到平面BCE的距离为．
（II）∵AB=BC，F为AC中点，
∴BF⊥AC，
取BC中点G，连EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=，
故四边形FGDE为平行四边形，EF∥DG，
∵G为BC中点，BD=CD，∴DG⊥BC，
∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DG，
∵DG⊥面ABC，∴DG⊥BF，∴EF⊥BF，
∴BF⊥面ACE，
∴平面ABC⊥平面ACE．
（III）延长AE于BD交于点H，连CH，
则CH是平面ACE与面BCD的交线，
在△BCH中，
∵BC=2，BH=4，∠BCD=60°，
∴BC⊥CH，
∵AB⊥平面BCD，
∴AC在平面BCD中的射影为BC，
∴AC⊥CH，
故∠ACB即为所求的二面角的平面角，
在△ABC中，AB⊥BC，且AB=BC，∴∠ACB=45°，
故平面BCD与平面ACE所成二面角为45°．