Question

已知函数y=f（x）满足方程f（x）+（x-3）f（1）=x³+x-4（x∈R）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数y=f（x）在区间[-1，m]上的值域为，试确定m的取值范围；
（III）记g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2，若g'（x）的两个零点x₁，x₂满足x₁≠x₂，且x₁，x₂∈[-1，2]，求b+2c的取值范围．

Answer

（I）令x=1，求出f（1）的值，然后代入，即可求出函数的解析式；
（II）先利用导数研究函数的单调性，然后结合图形可知由f（x）=2+，解得x的值即可求出m的范围；
（III）根据g′（x）=0在[-1，2]上有两个不等的实根，建立a、b的约束关系，画出区域，根据线性规划的知识可求出b+2c的取值范围．
【解析】
（I）令x=1得f（1）-2f（1）=-2
解得f（1）=2
∴f（x）=x3-x+2
（II）f′（x）=3x2-1，由f′（x）＞0
解得x＞或x＜-
由f′（x）＞0
解得-＜x＜
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上是增函数，
在（-，）上是减函数
f（x）极大值为f（-）=2+
f（x）极小值为f（）=2-
由f（x）=2+，解得x=-或x=
∴m的取值范围是[-，]
（III）g（x）=f（x）-bx2+（2c+1）x-2=x3-bx2+2cx
g′（x）=3x2-2bx+2c
依题意g′（x）=0在[-1，2]上有两个不等的实根
∴
画出（b、c）的可行域
b+2c∈[-，18）