Question

已知两曲线y=x³+ax和y=x²+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当 的最小值为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．

Answer

先由曲线y=x3+ax经过点P（1，2），求得a值，进而利用导数的几何意义求得曲线y=x3+ax经过点P（1，2）的切线方程l；再由y=x2+bx+c经过点P（1，2）的切线方程也是l，可求得b、c的值；最后代入，利用均值定理求最小值即可
【解析】
将P（1，2）代入两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c，得
设f（x）=x3+x，g（x）=x2+bx+c
∵f′（x）=3x2+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵两曲线在点P处有公切线
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1
∴==≥log22=1 （当且仅当x=1时取等号）
故选B