Question

如图，在矩形ABCD中，，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）
（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；
（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

Answer

（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）则B，C坐标可知，进而求得圆弧DE的方程和切线l的方程，设l与AB、CD交于F、G，则F，G的坐标可表示出，进而根据l平分矩形ABCD面积，可知求得x和y的关系式，同时与圆弧的方程联立求得x和y的，则点P的坐标可得．
（2）根据（1）中切线的方程，当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切，设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T，则MR=MT=MQ=r（r为圆M的半径）．进而根据点到直线的距离求得求得r的值，进而求得点M的坐标．
【解析】
（1）以A点为坐标原点，
AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．
设P（x，y），，D（0，1），
圆弧DE的方程x2+y2=1（x≥0，y≥0）
切线l的方程：xx+yy=1
设l与AB、CD交于F、G可求F（），G（），
∵l平分矩形ABCD面积，
∴①
又x2+y2=1②解①、②得：
，∴；
（2）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：，
当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切，
设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T，
则MR=MT=MQ=r（r为圆M的半径）．∴M，
由（舍），．
∴M点坐标为．