Question

已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是，求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由椭圆长轴长为2，知a=，再由椭圆过点（-，1），求得b2=，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线方程为y=k（x+1）由-5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB中点的横坐标是-，能求出直线l的斜率．
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），使是与k无关的常数，由-5=0，再由韦达定理和向量的数量积公式能推导出在x轴上存在点M（，0），使是与k无关的常数．
【解析】
（1）∵椭圆长轴长为2，∴2a=2，∴a=
又∵椭圆过点（-，1），代入椭圆方程得=1，∴b2=
∴椭圆方程为=1，
即x2+3y2=5…（3分）
（2）∵直线l过点C（-1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
由-5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB中点的横坐标是-，
则x1+x2=2×（-）=-1，
即x1+x2=．…（7分）
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），
使是与k无关的常数，
由-5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，…（9分）
∵）
∴
=
=
=
=是与k无关的常数，设常数为t，
则=t…（12分）
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0对任意的k恒成立∴，解得m=
即在x轴上存在点M（，0），
使是与k无关的常数．…（14分）