Question

已知数列）．
（1）试求a的取值范围，使得a_n+1＞a_n恒成立；
（2）若a=；
（3）若a=2，记T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|（n=2，3，…），求证：T_n＜1．

Answer

（1）由an+1＞an恒成立，知＞an，所以2an2-an-1＜0恒成立，故2a2-a-1＜0恒成立，由此能求出a的取值范围．
（2）当时，{an}是增函数，由0＜an＜1，知n≥2时，，从而当n≥2时，，事实上，等价于．由此能够证明．
（3）当a=2时，由数学归纳法可证an＞1，n∈N*．从而=．于是，当n≥2时，Tn=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an-1|=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）
=a1-an，由此能够证明Tn＜1．
【解析】
（1）∵数列）．
且an+1＞an恒成立，
∴＞an，
∴2an2-an-1＜0恒成立，
∴2a2-a-1＜0恒成立，（a-1）（2a+1）＜0，
∵a＞0，∴2a+1＞0，
∴a＜1，
综上所述，a的取值范围0＜a＜1．
（2）当时，
∵an+1＞an恒成立，
∴{an}是增函数，
∵an+1＞an恒成立，
∴＞an，
∴2an2-an-1＜0恒成立，
解得．
∵{an}是增函数，且，
∴0＜an＜1，
∴n≥2时，，
从而当n≥2时，，
即，
事实上，
∴
∴49（1+an）＞2（2an+5）2
∴8an2-9an+1＜0
∴（8an-1）（an-1）＜0，
∴．
而当n=1时，，
于是1-an≤=，
当且仅当n=1，2时，
等号成立，
∴n-Sn=（1-a1）+（1-a2）+…+（1-an）
＜
=
=
＜．
即．
（3）当a=2时，a1=2，an+1=，
①a1=2＞1成立，
②假设ak＞1，
则＞1，
由①②知an＞1，n∈N*．
从而=，
即an+1＜an，数列{an}递减，
于是，当n≥2时，
Tn=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an-1|
=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）
=a1-an
＜2-1
=1．