Question

设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）对所给的函数求导，使得导函数等于0，求出对应的x的值，判断这个点的两侧函数的导函数的符号，从而确定函数的极值．
（2）构造新函数令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，对函数求导．对于所求的导函数的结果进行讨论，对于a的不同的值导函数的符号不一致，分两种情况进行讨论，求出a的值．
【解析】
（1）∵f′（x）=2ln（2x+1）+2，
f′（x）=0，
∴x=
当x，f′（x）＞0
当x，f′（x）＜0
∴函数的极小值是f（+=-
（2）x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=
当a≤1，a-1≤0，
g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，对于x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
当a＞1时，a-1＞0，
当x，g′（x）＜0恒成立，
又g（0）=0，∴当x时，g（x）≤g（0）=0成立，
即当a＞1时，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
综上可知a≤1．