Question

设a∈R，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则以下结论正确的是（ ）
A．y=f（x）的极大值为-2
B．y=f（x）的极大值为2
C．y=f（x）的极小值为-1
D．y=f（x）的极小值为1

Answer

先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）建立等式关系，解之即可．
【解析】
对f（x）=x3+ax2+（a-3）x求导，得
f′（x）=3x2+2ax+a-3
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x2+2ax+a-3=3x2-2ax+a-3
化简得a=0
∴f′（x）=3x2-3
令f′（x）=0，即3x2-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选B．