Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）设，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：T_n≥1（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-2n+1+2，得Sn-1=2an-1-2n+2，两式作差变形可得，要注意n=1的情况．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，表示Tn=2×观察结构，用错位相减法求解．
【解析】
（Ⅰ）在Sn=2an-2n+1+2中，令n=1，可得S1=2a1-22+2，即a1=2
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n+2，则an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n∴an=2an-1+2n，即
∵∴bn=bn-1+1，即当n≥2时，bn-bn-1=1
又∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+（n-1）•1=n（n∈N*），
从而an=2n•bn=n•2n（n∈N*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以Tn=2×

两式相减得
=1+-（n+1）（）n+1=
∴
∵
∴数列{Tn}是增数列故，命题得证．