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如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,...

manfen5.com 满分网如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
(1)取CE中点P,连接FP、BP,根据中位线定理可知FP∥DE,且FP=,而AB∥DE,且AB=则ABPF为平行四边形,则AF∥BP,AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE,满足线面平行的判定定理,从而证得结论; (2)根据AB⊥平面ACD,DE∥AB,则DE⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD,根据线面垂直的性质可知DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D,满足线面垂直的判定定理,证得AF⊥平面CDE,又BP∥AF,则BP⊥平面CDE,BP⊂平面BCE,根据面面垂直的判定定理可证得结论; (3)由(2),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系F-xyz.设AC=2,根据线面垂直求出平面BCE的法向量n,而m=(0,0,1)为平面ACD的法向量,设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α,根据可求出所求. (1)证:取CE中点P,连接FP、BP, ∵F为CD的中点,∴FP∥DE,且FP=. 又AB∥DE,且AB=.∴AB∥FP,且AB=FP, ∴ABPF为平行四边形,∴AF∥BP.…(2分) 又∵AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE, ∴AF∥平面BCE. …(4分) (2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面ACD,DE∥AB, ∴DE⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD, ∴DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面CDE. …(6分) 又BP∥AF,∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE. …(8分) (3)由(2),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图), 建立空间直角坐标系F-xyz.设AC=2, 则C(0,-1,0),.…(9分) 设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量, 则令z=1,则n=(0,-1,1).…(10分) 显然,m=(0,0,1)为平面ACD的法向量. 设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α,则. α=45°,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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