Question

已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y²=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=    ．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），F（），联立方程整理可得，4x2-2（p+2）x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得•x1+x2，进而可得y1+y2=，代入三角形的重心坐标公式可得，可求M，代入抛物线的方程可求P
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），F（）
联立方程整理可得，4x2-2（p+2）x+1=0
∴，y1+y2=2（x1+x2）-2=p
由三角形的重心坐标公式可得，
∴，代入抛物线的方程可得（-p）2=2p（p-1）
∴p=2
故答案为：2