Question

如图，几何体ABCDEF，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，AD、BE、CF均与面ABC垂直，其中，BE=CF=3．
（Ⅰ）当O是CE中点且时，证明：AO∥平面DEF；
（Ⅱ）如果AD＜3，试求：当AD为多少时，平面DBC与平面DEF成直二面角？

Answer

（I）取线段EF的中点G，连接OG、DG，由三角形中位定理易证OG∥AD，OG=AD，进而四边形AOGD为平行四边形，进而AO∥GD由线面垂直的判定定理可得AO∥平面DEF；
（Ⅱ）方法一：由面面垂直的性质可得∠BDE即为二面角的平面角，设AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x2+2+（3-x）2+2=9，解方程确定D的位置可得答案；
方法二：（向量法）以B为原点，分别以BC、BA、BE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DBC的法向量和平面DEF的法向量，进而根据两平面垂直，其法向量也垂直得到z2-3z+2=0，解方程确定D的位置可得答案；
证明：（I）取线段EF的中点G，连接OG、DG
∵O、G分别为CE和EF的中点
∵OG∥CF
∴OG∥AD…（2分）
又，
所以，四边形AOGD为平行四边形…（4分）
∴AO∥GD又AO⊄平面DEF，GD⊂平面DEF
所以，AO∥平面DEF…（7分）
【解析】
（II）方法一：∠BDE即为二面角的平面角…（10分）
平面DBC与平面DEF成直二面角，即∠BDE=90°
设AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x2+2+（3-x）2+2=9…（12分）
解得：x1=1，x2=2
所以当AD=1或AD=2时，
平面DBC与平面DEF成直二面角…（14分）
方法二：向量法
以B为原点，分别以BC、BA、BE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则B（0，0，0），，，E（0，0，3），…（8分）
设
平面DBC的法向量为…（9分）
平面DEF的法向量为…（10分）
则，，
即…（12分）
z2-3z+2=0，解得，z=1或z=2
所以当AD=1或AD=2时，平面DBC与平面DEF成直二面角…（14分）