Question

已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，并记．
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）设函数g（x）=6mf（x）+1，若函数g（x）的值域为，试求正实数m的值．

Answer

（1）通过正弦定理求出AB，BC，利用向量的数量积化简三角函数，通过二倍角公式两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）利用（1）直接得到函数g（x）=6mf（x）+1，通过函数的定义域，求出，结合函数g（x）的值域为，即可求正实数m的值．
【解析】
（1）由题意可得∠ACB==，
在△ABC中，由正弦定理可知：，
可得==，；
，BC==，
=
=
=
=
=．（6分）
（2）由（1）可知，，
假设存在正实数m符合题意，
∵，∴，故，
又m＞0，∈（1，m+1]，
函数g（x）的值域为（1，m+1]，
令．（12分）