Question

定义在（0，+∞）上的函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围，并判断此时函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数．

Answer

（1）由于f（1）=1，且，又根据f（x）在点x=1处连续，即可求出a值．
（2）当x∈（0，1）时，，利用
从而得出f（x）在（0，1）上必为增函数，得出-2x2+ax+1＞0在（0，1）上恒成立，结合函数的连续性即可求得a的范围．再对a分类讨论研究函数的单调性即可得到f（x）在（0，+∞）上不是增函数的结论．
【解析】
（1）∵f（1）=1，
且，
又已知f（x）在点x=1处连续，
∴，
∴ea-1=1，
∴a=1．（4分）
（2）当x∈（0，1）时，．此时，

∵
∴f′（x）不可能在（0，1）上恒小于0，故f（x）在（0，1）上必为增函数，
∴-2x2+ax+1＞0在（0，1）上恒成立．
在（0，1）上恒成立．（8分）
设，
∵u（x）在（0，1）上是增函数，u（x）在（0，1]上的最大值为u（1）=1，
且u（x）在（0，1]上连续，
故有a≥1．（10分）
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞1时，=ea-1＞1=f（1），
故此时f（x）在（0，+∞）上不是增函数．（12分）