Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，当E、F分别在线段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=3，BC=4，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直．
（1）证明：直线AB与CD是异面直线；
（2）当直线AC与平面EFCD所成角为30°时，求二面角A-DC-E的余弦值．

Answer

（1）直线AB与CD是异面直线用反证法证明：假直线AB与CD共面，由线面平行的性质定理及平行公理，我们可以得到CD与已知中ABCD为梯形矛盾，进而得到直线AB与CD是异面直线；
（2）构造∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，可求EF；延长CD，EF，相交于N，过E作EH⊥DN于H，连接AH，可证得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，从而可求二面角A-DC-E的大小．
【解析】
（反证法）（1）假设AB，CD共面，
则AB∥CD或AB与CD相交，若AB∥CD，又AB∥EF，
则CD∥EF矛盾．若AB∩CD=P，
则P∈EF，∴AB∩EF=P，矛盾．（6分）
（2）∵AE⊥EF，平面ABEF⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．
∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．∠ACE=30°，AE=2．
∴EC=2，又FC=2，∴EF=2．（8分）
延长CD，EF相交于N，过E作EH⊥DN于H，
连AH，则AH⊥DA．
∴∠AHE是二面角A-DE-E的平面角，又DE=1，FC=2，
则NE=EF=2．
∴EH==，tan∠AHE==，cos∠AHE=．
∴二面角A-DC-E的余弦值是．（12分）