Question

椭圆C₁：与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M，抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（Ⅰ）若M，求C₁和C₂的标准方程；
（II）求椭圆C₁离心率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据M在抛物线C2上，求出抛物线方程，进而得到C2在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标，再结合M在椭圆C1上即可求出椭圆C1的标准方程；
（II）先设M，由得，进而得到C2在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标；再结合M在椭圆C1上以及p＞0求出a，b之间的关系即可得到椭圆C1离心率的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）把M代入C2：x2=2py（p＞0）得，
故C2：（2分）
由得，从而C2在点M处的切线方程为（3分）
令y=0有x=1，F（1，0），（4分）
又M 在椭圆C1上 
所以，解得a2=5，b2=4，故C1：（6分）
（Ⅱ）设M，由得，
从而C2在点M处的切线方程为（8分）
设F（c，0），代入上式得x=2c，
因为，
所以（10分）
又x2=2py，所以，（11分）
从而4b2＞3a2，即4c2＜a2，，，
所以椭圆C1离心率的取值范围为．（13分）