Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，∠ABC=60°，BB₁=BC=2，M为BC中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的正切值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求出向量的数量积为0，利用向量垂直的判断定理列出方程，求出h的值．
（2）求出平面NAB1的一个法向量，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角．
【解析】
（1）分别以BC，BB1所在直线为y，z轴，过B且与BC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A（-（0，0，2），N（0，2，h）．
∵，
∴=（0，1，h），
∴-1+2h=0，
∴h=．
即点N所在位置在比线段CC1的四等分点且靠近C点处．
（2）设是平面NAB1的一个法向量），则），
同理可得平面MAB1的法向量 =（0，2，1），
∴cos，
所以二面角M-AB1-N的正切值为．