Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC．已知CD=BE，AB=4，．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求三棱锥C-ADE的高．

Answer

（1）要证两个面相互垂直，可证平面ADE经过平面ACD的一条垂线DE，根据，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC，说明CD和BE都垂直于底面ABC，又CD=BE，可证DE∥BC，利用线面垂直的判定定理可证BC⊥面ACD，从而使问题得证；
（2）把三棱锥C-ADE体积转化为三棱锥E-ACD的体积，写出体积公式后利用基本不等式求体积最大值，并且得到使体积最大时的多面体A-BEDC的确切形状，然后利用等积法可求三棱锥C-ADE的高．
（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，因为△ABC是△AED的投影，所以CD⊥平面ABC，则CD⊥BC，
因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，
因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，又因为CD=BE，所以BCDE是平行四边形，
∴BC∥DE，则DE⊥平面ACD，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD；
（2）在直角三角形AEB中，EB=AB•tan∠EAB=4×=1，
由（1）知
===，
等号当且仅当时成立，
此时，，
，
设三棱锥C-ADE的高为h，
则，
∴．
∴．
所以，当三棱锥C-ADE体积最大时，三棱锥C-ADE的高为．