Question

（1）证明：对∀x＞0，lnx≤x-1；
（2）数列{a_n}，若存在常数M＞0，∀n∈N^*，都有a_n＜M，则称数列{a_n}有上界．已知，试判断数列{b_n}是否有上界．

Answer

（1）先设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用导数研究它的单调性，得出g（x）在x=1处取最大值，即可证得结论；
（2）假设，从而得出，由（1）得，即，再利用∀M＞0，取n为任意一个不小于eM的自然数，则，从而得出数列{bn}无上界．
证：（1）设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，∀x＞0.…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
当0＜x＜1时，，g（x）单调递增…（3分）；
当x＞1时，，g（x）单调递减…（4分），
所以g（x）在x=1处取最大值，即∀x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）数列{bn}无上界…（7分）∀n∈N*，设…（8分），，
由（1）得，…（10分），
所以=ln（n+1）…（13分），
∀M＞0，取n为任意一个不小于eM的自然数，
则，数列{bn}无上界…（14分）．