Question

不等式选讲
设x，y，z为正数，证明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

Answer

先将2（x3+y3+z3）分解成（x3+y3）+（z3+x3）+（y3+z3），再对每一组利用基本不等式进行放缩即得．
证明：因为x2+y2≥2xy≥0（2分）
所以x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）≥xy（x+y）（4分）
同理y3+z3≥yz（y+z），z3+x3≥zx（z+x）（8分）
三式相加即可得2（x3+y3+z3）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）
又因为xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）
所以2（x3+y3+z3）≥x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）