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在R上定义运算⊕:x⊗y=x(1-y)若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+...

在R上定义运算⊕:x⊗y=x(1-y)若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,7]
B.(-∞,3]
C.(-∞,7]
D.(-∞,-1]∪[7,+∞)
由x⊗y=x(1-y),把(x-a)⊗x≤a+2转化为(x-a)(1-x)≤a+2,由任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,知a≤.令f(x)=,x>2,则a≤[f(x)]min,x<2.由此能求出结果. 【解析】 ∵x⊗y=x(1-y), ∴(x-a)⊗x≤a+2转化为(x-a)(1-x)≤a+2, ∴-x2+x+ax-a≤a+2, a(x-2)≤x2-x+2, ∵任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立, ∴a≤. 令f(x)=,x>2, 则a≤[f(x)]min,x<2 而f(x)== =(x-2)++3 ≥2+3=7, 当且仅当x=4时,取最小值. ∴a≤7. 故选C.
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